Módulo III: Subconjuntos
Un subconjunto es un conjunto cuyos elementos pertenecen también a otro conjunto, el cual puede ser considerado como conjunto universal del subconjunto. Inclusive un conjunto puede ser subconjunto de sí mismo.
A partir de los elementos de un conjunto
universal pueden elaborarse otros conjuntos de menor cardinalidad o incluso de
la misma cardinalidad, a estos se les llama subconjuntos.
Cuando
la cardinalidad
del subconjunto
es menor que la del conjunto universal, simbólicamente se expresa
con ⊂.
Ejemplos:
Cuando
la cardinalidad del subconjunto es igual que la del conjunto universal,
simbólicamente se expresa con ⊂.
Ejemplo:
Sea M = { a,b,c,d }
El
conjunto N = { b,c,d,a } ⊂ M
Entonces
se lee: El conjunto N es subconjunto de M.
Ya
no se incluye el término “propio” después de la palabra subconjunto.
Empleando el concepto de subconjunto
propio
podemos establecer entre los conjuntos un grado de comparación en base a su cardinalidad,
ya que:
La cardinalidad de un subconjunto
propio
siempre será menor que la del conjunto en el cual está
incluido
o al cual pertenece. O bien,
La cardinalidad
del conjunto
en el cual está incluido un subconjunto siempre será mayor
que
la del subconjunto.
O
bien n ( L ) < n ( M )
El
conjunto M es mayor que el conjunto K
Sabemos que el conjunto N comprende a los números enteros desde el uno hasta el infinito y se escribe como:
Ejemplo:
Ejemplo:
Sean M = { a,b,c,d } Cardinalidad de M: n ( M ) = 4
L = {
a,b,c } Cardinalidad de L: n (
L ) = 3Sean M = { a,b,c,d } Cardinalidad de M: n ( M ) = 4
Puesto
que L ⊂ M,
entonces L está contenido en M y M tiene por lo menos un elemento más
que L, por lo que podemos afirmar
que:
El conjunto M es mayor que
el conjunto L
Simbólicamente M
> L
O bien: El
conjunto L es menor que
el conjunto M
Simbólicamente L
< M
O en términos de la cardinalidad: n ( M ) > n ( L )
Ejemplo:
Sean W = {1,2,3,4,5} y Y = {a,e,i}
El conjunto Y no es subconjunto del conjunto W.
Para comparar dos conjuntos cuyos elementos
son de diferente naturaleza, no podemos expresar uno de ellos como subconjunto
del otro, pero utilizando sus cardinalidades podemos establecer entre ellos una
comparación de mayor que, igual o menor
que.
Ejemplo:
Sean K = { r,s,t } Cardinalidad de K: n ( K ) = 3
Sean K = { r,s,t } Cardinalidad de K: n ( K ) = 3
M = {
a,b,c,d } Cardinalidad
de M: n ( M ) = 4
Observamos que n ( K ) < n
( M ),
O bien n ( M ) > n ( K ) podemos decir entonces que:
El
conjunto K es menor que el conjunto M, o
ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DEL CONJUNTO
N
Sabemos que el conjunto N comprende a los números enteros desde el uno hasta el infinito y se escribe como:
N =
{1,2,3,4,5,6,…}
Vamos
a analizar algunos subconjuntos importantes de N.
Recordando,
un múltiplo de un número es otro
número que contiene al primero una cantidad exacta de veces.
El
primer múltiplo de un número es el mismo
número, ya que todo número dividido
entre sí mismo es igual a uno, es decir, un número se contiene a sí mismo una
vez.
Para
encontrar múltiplos de un número basta con multiplicarlo por cualquier otro
número.
Ejemplo:
Algunos
múltiplos de 4: 4 X 5 = 20
4 X 9 = 36
4 X 15 = 60
Entonces,
el 20, el 36 y el 60 son múltiplos de 4 porque lo contienen
5, 9 y 15 veces respectivamente.
Para
el conjunto que se solicita, k
representa cualquier número que pertenece a N, y este número lo multiplicaremos por los números naturales desde
el 1 hasta el infinito, entonces:
Ejemplo:
El conjunto de los múltiplos de 6 es: {1(6),2(6),3(6),4(6),…} = {6,12,18,24,…}
b)
El conjunto de números primos.
Un
número primo es el que tiene únicamente dos divisores, él mismo y el uno.
El
primer número primo es el 2, es el único número primo par, todos los demás números
primos son impares, aunque no todos los impares son primos.
Entonces,
el conjunto de los números primos
es: { 2,3,5,7,11,13,17,…}
c)
El conjunto de números compuestos
Un
número compuesto es el que no es primo.
El
conjunto solicitado incluye los números pares, con excepción del 2, y los impares que no son primos.
El conjunto de números compuestos es: { 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,…}
1.- Considerando el
conjunto M = {a,b,c,d}, forme un conjunto con todos los subconjuntos de M que tengan:
a)
Cardinalidad 4 y llámelo T. T
= { b,d,a,c}
Aquí
podemos formar más subconjuntos T, sin embargo, la cardinalidad sería la
misma y lo único que cambiaríamos sería el orden de los elementos, por eso solo
ponemos un ejemplo.
b)
Cardinalidad 3 y llámelo U. U
= { { a,b,c }, { a,b,d },{ b,c,d }, { c,d,a
}}
c)
Cardinalidad 0 y llámelo S. S
= { }
d)
Cardinalidad 1 y llámelo W W
= { {
a },{ b },{ c }, { d } }
4.- a) ¿Cuál es la cardinalidad del
conjunto W del problema 1?
RESPUESTA:
n (W) = 4
b) ¿Y la del conjunto S?
RESPUESTA:
n (S) = 0
c) Compare la cardinalidad de W con la de S. Use el símbolo adecuado (>,<)
en caso de desigualdad.
RESPUESTA:
n (W) > n (S)
d) Compare n (T) con n (S).
RESPUESTA: n
(T) > n (S)
e) Compare n (W) con n (U).
RESPUESTA:
n (W) = n (U)
5.- Establezca la
correspondencia biunívoca entre dos conjuntos de modo que demuestre que la
cardinalidad del conjunto días de la semana D, es mayor que la
del conjunto estaciones del año E.
n
(D) = 7 n (E) = 4
n
(D) > n (E)
6.- Escriba si los números
siguientes son primos o compuestos, y sin son compuestos escriba de qué números
son múltiplos.
Recordemos
que:
Número
primo es el que tiene únicamente dos divisores, él mismo y el uno (1).
Número
compuesto es el que no es primo, puede ser par o
impar.
Múltiplo
de un número es el que contiene al número cierta cantidad de
veces en forma exacta. Todo número es múltiplo de sí mismo.
7.- Realice la
factorización completa, es decir, descomponga en sus factores primos los siguientes
números:
Factorizar
significa descomponer en factores,
los cuales al multiplicarlos entre sí nos devuelven el número que se está
factorizando.
Referencias
- Villegas U. M. y René Z. F. Matemáticas I, preparatoria abierta, primer semestre. México, SEP.
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