EVALUACIÓN FINAL I
PROBLEMA 1
Una pared rectangular tiene
un perímetro de 24 metros. El largo ( l )
de la pared es el doble del alto ( a ). ¿Cuántos litros de pintura se necesitan
para pintar la pared, si se utiliza 1 litro de pintura por cada 5 metros
cuadrados de pared?
I. ¿Cuál es la solución para el problema?
Para contestar esta pregunta necesitamos determinar el
área de la pared.
El área de un rectángulo se obtiene con la expresión:
Área = A = ( largo ) ( alto ) = l a
El perímetro de un rectángulo se obtiene con la expresión:
Perímetro = P = largo + largo + alto + alto = l + l + a + a = 2 l + 2 aa) 6a = 24 b) 8a + 2l = 24 c) 6a + 5 = 24 d) 4a + 3l = 24
SOLUCIÓN:
Analizando las opciones de respuesta, observamos que todas las expresiones están igualadas a 24, que es el valor del perímetro.
Teniendo en cuenta la condición de que el largo es igual a dos veces el alto, deducimos entonces lo siguiente:
“La razón de hombres a
mujeres es de 2 a 3”.
Retomando el ejercicio,
sabemos que la pared tiene un área = 32 m2, y se sabe que se
requiere 1 litro de pintura por cada 5 m2 de área de pared.
Podemos establecer la razón
de proporcionalidad siguiente:
1 litro de pintura : 5 m2 de
área
A) ¿Cuál es la respuesta correcta?
a) 30 de arábico y 20 de
robusto b) 20 de
arábico y 30 de robusto
SOLUCIÓN:
FORMA INTUITIVA
En total se requieren 50
kilogramos de la mezcla deseada, y cada kilogramo debe costar $ 12.00.
En las cuatro opciones de
respuesta, las cantidades suman 50 kg, por lo que podemos probar cada inciso y
comprobar cuál cumple con el costo.
Los costos de cada tipo
son: arábico $ 10.00 robusto
$ 15.00
FORMA ALGEBRAICA
Se establece un sistema de
ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
“x” kilogramos de café arábico + “y” kilogramos de café robusto = 50 kg
Primera ecuación: x + y = 50
Si 1 kg de la mezcla = $ 12.00, entonces:
50 kg de la mezcla = 50 ($ 12.00) = $ 600.00
Segunda ecuación: $ 10 x + $ 15 y = $ 600.00
Resolvemos el sistema por
el método de eliminación.
Vamos a eliminar la
variable “x”
- Multiplicamos la ( 1 ) por -10: -10 x – 10 y = - 500
Multiplicamos la ( 2 ) por 1: 10 x + 15 y = 600
Sumamos las dos ecuaciones: 0 + 5 y = 100
II. ¿Cuáles son las cantidades desconocidas en el problema anterior?
a) costo del kilogramo de arábico y de robusto que llevará la mezcla
b) costo de 50 kilogramos
de café de arábico y de robusto
c) peso en kilogramos de la
mezcla de arábico y de robusto por $12
d) cantidad en kilogramos
de arábico y de robusto que llevará la mezcla
III. ¿Qué propiedades de la
igualdad utilizas para resolver las ecuaciones del problema anterior?
a) propiedad de la potencia
y de la resta
b) propiedad de la raíz y
de la multiplicación
c) propiedad de la resta y
de la división
SOLUCIÓN:
II. ¿Cómo puedo escribir en fracciones impropias los metros cuadrados de pintura que pinta Jaime en una hora?
PROBLEMA 4
I. ¿Cuál es la respuesta al
problema?
SOLUCIÓN:
El producto de los medios: (5 niños)(x niñas)
El producto de los extremos: (4 niñas)(y niños)
O sea: (5 niños)(x
niñas) = (4 niñas)(y niños)
5 x
= 4 y
Probamos con los valores de
las opciones de respuesta, para ver cuáles satisfacen la igualdad.
2,700 = 3,600 No se cumple la igualdad
B) 600 niñas y 840 niños
5 (600) = 4 (840)
3,000 = 3,360 No se cumple la igualdad
C) 640 niñas y 800 niños
5 (640) = 4 (800)
3,200 = 3,200 Se cumple la igualdad
RESPUESTA CORRECTA: INCISO C).Si dividimos el 4 entre 5 obtenemos 0.8, este es el valor del cociente de la razón; por lo que al dividir entre sí los valores de cada opción, en el orden correcto, la que nos dé el mismo valor será la respuesta al problema.
C) 640 niñas y 800 niños
De acuerdo con esto:
En las opciones A) y B), el numerador y el denominador se están
multiplicando por números distintos ya que las letras son distintas ( m y n ).
C) 15 garrafones de 80 litros D) 24
garrafones de 30 litros
SOLUCIÓN:
El problema se resuelve obteniendo el Máximo
Común Divisor (M.C.D.) de las cantidades 240, 360 y 540 litros, ya que se busca la capacidad máxima de los
garrafones en los que se debe vaciar el agua.
El M.C.D. de dos o más cantidades enteras es el divisor más grande que es común a esas cantidades.
El 60 es el M.C.D. de 240, 360 y 540
Es decir, la capacidad de cada garrafón debe ser 60 litros.
Las cantidades de garrafones para cada estanque son:
Cantidad total de garrafones: 19
Se requieren
19 garrafones de 60 litros cada uno.
RESPUESTA CORRECTA: INCISO A).
PROBLEMA 6
¿En cuánto debo vender un terreno si quiero obtener una ganancia del 15%
sobre el precio de costo, y lo compré en $380,000?
I. ¿Cuál es la solución al problema?
A) $435,000 B) $437,000 C) $438,000 D) $439,000
SOLUCIÓN:
Datos.
Precio de venta: ¿?
Ganancia a obtener sobre el precio de compra: 15
%
Precio de compra: $ 380,000
PRIMERA FORMA DE SOLUCIÓN
Obtenemos el 15 % del precio de compra: ($ 380,000)(15 %) =
Convertimos el porcentaje a decimal: ($ 380,000)(0.15) = $ 57,000
RESPUESTA CORRECTA: INCISO B).
II. En el problema anterior, ¿cuál es la razón, en porcentaje, entre el costo y el precio de venta?
SOLUCIÓN:
El precio de venta = $ 437,000
El precio de venta está compuesto entonces por
el 100 % + el 15 % de ganancia, por lo
tanto:
El precio de venta representa el 115 %.
Se solicita la razón entre el costo (100 %) y el precio de venta (115 %).
RESPUESTA CORRECTA: INCISO C).
III. ¿Qué ecuación expresa la relación de proporcionalidad entre el costo y la ganancia?
SOLUCIÓN:
El precio de compra (costo) = $ 380,000, que es
el 100 %
La ganancia es "x" es el 15 %
Podemos escribir entonces la siguiente proporción:
$ 380,000 : 100 % : : x : 15 %
SEGUNDA FORMA DE SOLUCIÓN
Precio de venta: ¿?
Ganancia a obtener sobre el precio de compra: 15 %
Precio de compra: $ 380,000, esta cantidad es el 100 %
PROBLEMA 7
En un estacionamiento hay 120 vehículos entre
motocicletas y automóviles, y sus llantas suman 410. ¿Cuántos de los vehículos
son motocicletas y cuántos automóviles?
I. ¿Cuál es la respuesta al problema?
A) 80 motocicletas y 40 automóviles B) 30 motocicletas y
90 automóviles
C) 65 motocicletas y 55 automóviles D) 35 motocicletas y 85 automóviles
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN
ALGEBRAICA
Establecemos un sistema de dos ecuaciones lineales
de primer grado con dos incógnitas.
Asignamos una variable a cada tipo de vehículo
Motocicleta = m Automóvil = a
Total de vehículos = 120
Total de llantas = 410
El sistema de ecuaciones es:
Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método
de eliminación.
Por lo tanto, la respuesta correcta es el inciso D).
SOLUCIÓN INTUITIVA
Probamos con las cantidades de vehículos de cada
opción de respuesta y calculamos la cantidad total de vehículos y llantas, para
llegar a 120 vehículos y 410 llantas.
A) 80 motocicletas y 40 automóviles
Cantidad de vehículos = 80 motocicletas + 40
automóviles = 120 vehículos
Cantidad de llantas:
(80 motocicletas)(2 llantas por motocicleta) =
160 llantas
(40 automóviles)(4 llantas por automóvil) = 160 llantas
Total de llantas = 320 llantas
OPCIÓN INCORRECTA.
D) 35 motocicletas y 85 automóviles
Cantidad de vehículos = 35 motocicletas + 85
automóviles = 120 vehículos
Cantidad de llantas:
(35 motocicletas)(2 llantas por motocicleta) = 70 llantas
(85 automóviles)(4 llantas por automóvil) = 340 llantas
Total de llantas = 410 llantas
Por lo tanto, la respuesta correcta es el inciso D).
II. ¿Cuáles son las incógnitas del problema
anterior?
A) La cantidad de llantas por cada motocicleta y
por cada automóvil
B) La cantidad total de vehículos entre
motocicletas y automóviles
C) La cantidad de motocicletas y la cantidad de
automóviles
D) La cantidad total de llantas entre
motocicletas y automóviles
SOLUCIÓN:
III. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones algebraicas no pertenece al sistema de ecuaciones que representa el problema?
SOLUCIÓN:
b) Son paralelas coincidentes, es decir, una está
sobre la otra, por lo tanto cada punto de una corresponde también a la otra,
por lo tanto, tienen soluciones infinitas.
Probamos con cada inciso tomando los números
indicados en cada uno y buscando que satisfagan las condiciones del problema.
Inciso A) 24 y 40
Inciso B) 30 y 34
Inciso C) 16 y 48
RESPUESTA CORRECTA: INCISO C).
SOLUCIÓN ALGEBRAICA
Establecemos el sistema de ecuaciones:
Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método
de eliminación:
Vamos a eliminar la variable “y”.
Con x = 16, calculamos “y” a partir de ( 1 ) o ( 2 ):
Por lo tanto, los números buscados son el 16 y el 48.
RESPUESTA CORRECTA: INCISO C).
II. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones puedo plantear para resolver este problema?
PROBLEMA 9
Felipe y Marco coleccionan monedas viejas. Felipe le
dice a Marco: “Si me das dos monedas, tendré tantas como tú”, y Marco responde:
“Sí, pero si tú me das cuatro, entonces tendré cuatro veces más que tú”. ¿Cuántas
monedas tienen cada uno?
I. ¿Cuál es la solución al problema?
- INCISO A) 10 y 14
Felipe: 10 monedas
Marco: 14 monedas
Si Marco que tiene 14 monedas, le da dos monedas a Felipe que tiene 10 monedas, entonces cada uno tendrá 12 monedas, es decir, tendrán la misma cantidad. Se cumple la primera condición.
Para la segunda condición:
Si Felipe que tiene 10 monedas, le da cuatro monedas a Marco que tiene 14 monedas, entonces:
Felipe tendrá 10 – 4 = 6 monedas
Marco tendrá 14 + 4 = 18 monedas
Es claro que 18 no es cuatro veces 6, no se cumple la condición.
- INCISO B) 6 y 10
Felipe: 6
monedas
Marco: 10 monedas
Si Marco que tiene 10 monedas, le da dos monedas a Felipe
que tiene 6 monedas, entonces:
Felipe tendrá
6 + 2 = 8 monedas
Marco tendrá 10 – 2 = 8 monedas
Tendrán la misma cantidad. Se cumple la primera condición.
Para la segunda condición:
Si Felipe que tiene 6 monedas, le da cuatro monedas a
Marco que tiene 10 monedas, entonces:
Felipe tendrá 6 – 4 = 2 monedas
Marco tendrá 10 + 4 = 14 monedas
Es claro que 14 no es cuatro veces 2, no se cumple la condición.
- INCISO C) 16 y 20
Felipe: 16 monedas
Marco: 20 monedas
Si Marco que tiene 20 monedas, le da dos monedas a Felipe
que tiene 16 monedas, entonces:
Felipe tendrá 16 + 2 = 18 monedas
Marco tendrá 20 – 2 = 18 monedas
Tendrán la misma cantidad. Se cumple la primera condición.
Para la segunda condición:
Si Felipe que tiene 16 monedas, le da cuatro monedas a Marco
que tiene 20 monedas, entonces:
Felipe tendrá 16 – 4 = 12 monedas
Marco tendrá 20 + 4 = 24 monedas
Es claro que 24 no es cuatro veces 12, no se cumple la condición.
- INCISO D) 8 y 12
Felipe: 8
monedas
Marco: 12 monedas
Si Marco que tiene 12 monedas, le da dos monedas a Felipe
que tiene 8 monedas, entonces:
Felipe tendrá 8 + 2 = 10 monedas
Marco tendrá 12 – 2 = 10 monedas
Tendrán la misma cantidad. Se cumple la primera condición.
Para la segunda condición:
Si Felipe que tiene 8 monedas, le da cuatro monedas a Marco
que tiene 12 monedas, entonces:
Felipe tendrá 8 – 4 = 4 monedas
Marco tendrá 12 + 4 = 16 monedas
16 es cuatro veces 4, se cumple la condición.
RESPUESTA CORRECTA: INCISO D).
SOLUCIÓN
ALGEBRAICA
Felipe: “x”
monedas
Marco: “y” monedas
Felipe le dice a Marco: “Si me das dos monedas, tendré
tantas como tú”.
Algebraicamente: x + 2 = y – 2
Marco responde: “Sí, pero si tú me das cuatro,
entonces tendré cuatro veces más que tú”.
Algebraicamente:
4 ( x – 4 ) = y + 4
Reexpresamos las ecuaciones y establecemos el sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
Resolvemos el sistema por el método de eliminación.
Eliminamos la variable “y”:
RESPUESTA CORRECTA: INCISO D).
II. Si utilizo “m” para representar las monedas de Felipe y “n” para las de Marco, ¿cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones es correcto?
SOLUCIÓN:
En la pregunta I de este problema, en la SOLUCIÓN ALGEBRAICA, está descrita la forma de elaborar el sistema de ecuaciones que representa este problema y permite resolverlo.
El sistema planteado es:
Este sistema es equivalente al del inciso A).
RESPUESTA CORRECTA: INCISO A).
PROBLEMA 10
Julia, Alberto, y
Susana compraron una cierta cantidad de chocolates. Julia se comió la mitad y
uno más. Alberto se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Susana se
comió la mitad de los que quedaban y uno más. No quedó ningún chocolate.
¿Cuántos chocolates habían comprado?
I. ¿Cuál es la respuesta correcta al problema?
a) 20 chocolates b) 14 chocolates c) 16 chocolates d) 18 chocolates
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN INTUITIVA
Probamos con cada valor de las opciones de respuesta y
le aplicamos las condiciones del problema.
Julia + Alberto + Susana = Total de chocolates
"Julia se comió la mitad y uno más":
20 – 10 = 10 10 + 1 = 11 Quedan: 20 – 11 = 9
"Alberto se comió la mitad de los quedaban y uno más":
Observamos que la mitad de 9 no es un número entero.
OPCIÓN INCORRECTA.
INCISO B) 14 chocolates
"Julia se comió la mitad y uno más":
14 – 7 = 7 7 + 1 = 8 Quedan: 14 – 8 = 6
"Alberto se comió la mitad de los quedaban y uno más":
6 – 3 = 3 3 + 1 = 4 Quedan: 6 – 4 = 2
“Susana se comió la mitad de los quedaban y uno más”:
2 – 1 = 1 1 + 1 = 2 Quedan: 2 – 2 = 0
RESPUESTA CORRECTA: INCISO B).
SOLUCIÓN
ALGEBRAICA
Julia + Alberto +
Susana = Total de chocolates
Si designamos al
total de chocolates con la variable “x”
J + A + S = x……………….( 1 )
Retomamos la
ecuación ( 1 ), sustituimos en ella las expresiones que representan las
cantidades consumidas por Julia, Alberto y Susana, para calcular “x”.