PREPARATORIA ABIERTA PLAN MODULAR MÓDULO 3

MÓDULO 3     REPRESENTACIONES SIMBÓLICAS Y ALGORITMOS

EVALUACIÓN FINAL I

PROBLEMA 1

Una pared rectangular tiene un perímetro de 24 metros. El largo ( l ) de la pared es el doble del alto ( a ). ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar la pared, si se utiliza 1 litro de pintura por cada 5 metros cuadrados de pared?

I. ¿Cuál es la solución para el problema?

a) 8.2                               b) 3.2                             c) 6.4                                 d) 2.4

SOLUCIÓN:

Para contestar esta pregunta necesitamos determinar el área de la pared.

El área de un rectángulo se obtiene con la expresión: 

Área = A = ( largo ) ( alto ) = l a

El perímetro de un rectángulo se obtiene con la expresión:

Perímetro = P = largo + largo + alto + alto = l + l + a + a = 2 l + 2 a

II. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones puede representar algebraicamente este problema?

a) 6a = 24               b) 8a + 2l = 24               c) 6a + 5 = 24                 d) 4a + 3l = 24

SOLUCIÓN:

Analizando las opciones de respuesta, observamos que todas las expresiones están igualadas a 24, que es el valor del perímetro.

Teniendo en cuenta la condición de que el largo es igual a dos veces el alto, deducimos entonces lo siguiente:

III. ¿Cómo puede escribirse la relación de proporcionalidad que existe entre la pared y los litros de pintura que se necesitan para pintarla?

Una razón entre dos cantidades es la relación que existe entre ellas, la cual nos permite determinar cuántas veces una contiene a la otra, o bien cuántas veces cabe una en la otra. La razón se obtiene al dividir una cantidad entre la otra.

Por ejemplo, para indicar la razón entre las cantidades 10 y 5, escribimos:

10 : 5      Se lee:  “10 es a 5”

Podemos también establecer la razón a la inversa:

Otro ejemplo es, si en una reunión hay 12 hombres y 18 mujeres, podemos expresar lo siguiente:

Lo que nos indica que: “por cada 9 mujeres hay 6 hombres”.

Lo que nos indica que: “por cada 3 mujeres hay 2 hombres”.

Para este último caso, también podemos expresar lo siguiente:

“La razón de hombres a mujeres es de 2 a 3”.

Retomando el ejercicio, sabemos que la pared tiene un área = 32 m², y se sabe que se requiere 1 litro de pintura por cada 5 m² de área de pared.

Podemos establecer la razón de proporcionalidad siguiente:

        1 litro de pintura :   5 m² de área

 “x” litros de pintura : 32 m² de área

PROBLEMA 2

En un expendio de café se quiere vender una mezcla que cueste $12 por kilogramo y que combine dos tipos de grano: el arábico, que cuesta $10 por kilogramo y el robusto, que cuesta $15. ¿Cuántos kilogramos de café de cada tipo se deben mezclar para obtener, a ese costo, 50 kilogramos de dicha mezcla?

A) ¿Cuál es la respuesta correcta?

a) 30 de arábico y 20 de robusto                      b) 20 de arábico y 30 de robusto

c) 35 de arábico y 15 de robusto                      d) 15 de arábico y 35 de robusto

SOLUCIÓN:

FORMA INTUITIVA

En total se requieren 50 kilogramos de la mezcla deseada, y cada kilogramo debe costar $ 12.00.

En las cuatro opciones de respuesta, las cantidades suman 50 kg, por lo que podemos probar cada inciso y comprobar cuál cumple con el costo.

Los costos de cada tipo son:    arábico $ 10.00                      robusto $ 15.00

Inciso A) 30 de arábico y 20 de robusto

( 30 )( $ 10 ) = $ 300.00

( 20 )( $ 15 ) = $ 300.00

                                          Costo de la mezcla = $ 600.00

FORMA ALGEBRAICA

Se establece un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

“x” kilogramos de café arábico + “y” kilogramos de café robusto = 50 kg

• Primera ecuación:             x + y = 50

Si 1 kg de la mezcla = $ 12.00, entonces:

50 kg de la mezcla = 50 ($ 12.00) = $ 600.00

• Segunda ecuación:  $ 10 x + $ 15 y = $ 600.00

El sistema es:

Resolvemos el sistema por el método de eliminación.

Vamos a eliminar la variable “x”

• Multiplicamos la ( 1 ) por -10:               -10 x – 10 y  = - 500

• Multiplicamos la ( 2 ) por 1:                    10 x + 15 y  =   600

• Sumamos las dos ecuaciones:                0   +   5 y  =   100

Es decir, se requieren 30 kg de café arábico y 20 kg de café robusto.

II. ¿Cuáles son las cantidades desconocidas en el problema anterior?

a) costo del kilogramo de arábico y de robusto que llevará la mezcla

b) costo de 50 kilogramos de café de arábico y de robusto

c) peso en kilogramos de la mezcla de arábico y de robusto por $12

d) cantidad en kilogramos de arábico y de robusto que llevará la mezcla

SOLUCIÓN:

III. ¿Qué propiedades de la igualdad utilizas para resolver las ecuaciones del problema anterior?

a) propiedad de la potencia y de la resta

b) propiedad de la raíz y de la multiplicación

c) propiedad de la resta y de la división

d) propiedad de la división y de la raíz

SOLUCIÓN:

Las ecuaciones no tienen potencias ni raíces, por lo que la RESPUESTA CORRECTA ES EL INCISO C).

PROBLEMA 3

I. ¿Cuál es la solución del problema?

SOLUCIÓN:

DATOS

Determinamos lo que Francisco pinta en una hora dividiendo esta fracción entre 2.

II. ¿Cómo puedo escribir en fracciones impropias los metros cuadrados de pintura que pinta Jaime en una hora?

SOLUCIÓN:

III. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa el problema anterior?

SOLUCIÓN:

De acuerdo con la información del problema tenemos:

RESPUESTA CORRECTA: INCISO B).

PROBLEMA 4

I. ¿Cuál es la respuesta al problema?

A) 540 y 900                 B) 600 y 840                 C) 640 y 800               D) 700 y 740

SOLUCIÓN:

Esto se interpreta como:

hay 5 niños por cada 4 niñas, o bien, hay 4 niñas por cada 5 niños.

Si designamos a las niñas con la letra “x” y a los niños con la letra “y”, podemos establecer la siguiente proporción:

En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

El producto de los medios:                                (5 niños)(x niñas)

El producto de los extremos:                           (4 niñas)(y niños)

O sea:            (5 niños)(x niñas) = (4 niñas)(y niños)

                                                         5 x = 4 y

Probamos con los valores de las opciones de respuesta, para ver cuáles satisfacen la igualdad.

A) 540 niñas y 900 niños

5 (540) = 4 (900)

  2,700 = 3,600                    No se cumple la igualdad

B) 600 niñas y 840 niños

5 (600) = 4 (840)

  3,000 = 3,360                    No se cumple la igualdad

C) 640 niñas y 800 niños

5 (640) = 4 (800)

  3,200 = 3,200                    Se cumple la igualdad

RESPUESTA CORRECTA: INCISO C).

Otra forma de solución.

Si dividimos el 4 entre 5 obtenemos 0.8, este es el valor del cociente de la razón; por lo que al dividir entre sí los valores de cada opción, en el orden correcto, la que nos dé el mismo valor será la respuesta al problema.

 A) 540 niñas y 900 niños

B) 600 niñas y 840 niños

C) 640 niñas y 800 niños

SOLUCIÓN:

Para obtener una o más fracciones equivalentes de una fracción dada, debemos multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número.

De acuerdo con esto:

En las opciones A) y B), el numerador y el denominador se están multiplicando por números distintos ya que las letras son distintas ( m y n ).

En las opciones C) y D), el numerador y el denominador se están multiplicando por el mismo número ( letras n ), pero en la opción C) el numerador y el denominador no corresponden a los de la fracción dada; por lo tanto, la respuesta correcta es el inciso D).

PROBLEMA  5

En una fábrica se tienen 3 tanques llenos de agua, con capacidades de 240, 360 y 540 litros. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafones de forma exacta, para que el contenido de los tanques pueda vaciarse sin desperdicio alguno. ¿Cuál es la capacidad máxima de los garrafones en los que se puede envasar el agua contenida en cada uno de los tanques? ¿Cuántos garrafones se requieren?

I. ¿Cuál es la solución al problema?

A) 19 garrafones de 60 litros                                    B) 25 garrafones de 40 litros

C) 15 garrafones de 80 litros                                    D) 24 garrafones de 30 litros

SOLUCIÓN:

El problema se resuelve obteniendo el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de las cantidades 240, 360 y 540 litros, ya que se busca la capacidad máxima de los garrafones en los que se debe vaciar el agua.

El M.C.D. de dos o más cantidades enteras es el divisor más grande que es común a esas cantidades.

El 60 es el M.C.D. de 240, 360 y 540

Es decir, la capacidad de cada garrafón debe ser 60 litros.

Las cantidades de garrafones para cada estanque son:

Cantidad total de garrafones:                         19

Se requieren 19 garrafones de 60 litros cada uno.

RESPUESTA CORRECTA: INCISO A).

PROBLEMA 6

¿En cuánto debo vender un terreno si quiero obtener una ganancia del 15% sobre el precio de costo, y lo compré en $380,000?

I. ¿Cuál es la solución al problema?

A) $435,000                    B) $437,000                   C) $438,000                   D) $439,000

SOLUCIÓN:

Datos.

Precio de venta: ¿?

Ganancia a obtener sobre el precio de compra: 15 %

Precio de compra: $ 380,000

PRIMERA FORMA DE SOLUCIÓN

Obtenemos el 15 % del precio de compra:           ($ 380,000)(15 %) =

Convertimos el porcentaje a decimal:                      ($ 380,000)(0.15) = $ 57,000

RESPUESTA CORRECTA: INCISO B).

II. En el problema anterior, ¿cuál es la razón, en porcentaje, entre el costo y el precio de venta?

SOLUCIÓN:

El precio de venta = $ 437,000

El precio de venta está compuesto entonces por el 100 % + el 15 %  de ganancia, por lo tanto:

El precio de venta representa el 115 %.

Se solicita la razón entre el costo (100 %) y el precio de venta (115 %).

RESPUESTA CORRECTA: INCISO C).

III. ¿Qué ecuación expresa la relación de proporcionalidad entre el costo y la ganancia?

SOLUCIÓN:

El precio de compra (costo)  = $ 380,000, que es el 100 %

La ganancia es "x" es el 15 %

Podemos escribir entonces la siguiente proporción:

$ 380,000 : 100 % : : x : 15 %

SEGUNDA FORMA DE SOLUCIÓN

Precio de venta: ¿?

Ganancia a obtener sobre el precio de compra: 15 %

Precio de compra: $ 380,000, esta cantidad es el 100 %

PROBLEMA 7

En un estacionamiento hay 120 vehículos entre motocicletas y automóviles, y sus llantas suman 410. ¿Cuántos de los vehículos son motocicletas y cuántos automóviles?

I. ¿Cuál es la respuesta al problema?

A) 80 motocicletas y 40 automóviles         B) 30 motocicletas y 90 automóviles

C) 65 motocicletas y 55 automóviles         D) 35 motocicletas y 85 automóviles

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN ALGEBRAICA

Establecemos un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas.

Asignamos una variable a cada tipo de vehículo

Motocicleta = m                    Automóvil = a

Total de vehículos = 120

Total de llantas = 410

El sistema de ecuaciones es:

Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.

Eliminamos la variable “m”.

   Por lo tanto, la respuesta correcta es el inciso D).

SOLUCIÓN INTUITIVA

Probamos con las cantidades de vehículos de cada opción de respuesta y calculamos la cantidad total de vehículos y llantas, para llegar a 120 vehículos y 410 llantas.

A) 80 motocicletas y 40 automóviles

Cantidad de vehículos = 80 motocicletas + 40 automóviles = 120 vehículos

Cantidad de llantas:

(80 motocicletas)(2 llantas por motocicleta) = 160 llantas

(40 automóviles)(4 llantas por automóvil)     = 160 llantas

                                                   Total de llantas = 320 llantas                 

OPCIÓN INCORRECTA.

D) 35 motocicletas y 85 automóviles

Cantidad de vehículos = 35 motocicletas + 85 automóviles = 120 vehículos

Cantidad de llantas:

(35 motocicletas)(2 llantas por motocicleta) =   70 llantas

(85 automóviles)(4 llantas por automóvil)     = 340 llantas

                                                    Total de llantas = 410 llantas

Por lo tanto, la respuesta correcta es el inciso D).

II. ¿Cuáles son las incógnitas del problema anterior?

A) La cantidad de llantas por cada motocicleta y por cada automóvil

B) La cantidad total de vehículos entre motocicletas y automóviles

C) La cantidad de motocicletas y la cantidad de automóviles

D) La cantidad total de llantas entre motocicletas y automóviles

SOLUCIÓN:

III. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones algebraicas no pertenece al sistema de ecuaciones que representa el problema?

SOLUCIÓN:

La ecuación del inciso B) sí pertenece al sistema de ecuaciones, ya que representa la suma de los vehículos, “x” es la cantidad de motocicletas y “y” es la cantidad de automóviles, y la suma es 120.

La ecuación del inciso D) sí pertenece al sistema de ecuaciones, es la misma ecuación del inciso B), está expresada en función de “y”, es decir, la “y” está despejada; la “x” que está sumando en el lado izquierdo en el inciso B), se ha pasado restando al lado derecho de la ecuación.

La ecuación del inciso C) sí pertenece al sistema de ecuaciones, representa la suma de las llantas de los vehículos. La cantidad de motocicletas “x” se multiplica por 2 llantas y la cantidad de automóviles “y” se multiplica por 4 llantas, la suma es igual a 410.

La ecuación del inciso A) no pertenece al sistema de ecuaciones, ya que estaría representando la suma de los vehículos, la cual, sí es 120, pero esta ecuación nos indica que el doble de motocicletas más la cantidad de automóviles es igual a 120, lo cual no es correcto.

RESPUESTA CORRECTA: INCISO A).

IV. ¿Cuál es la representación gráfica de este problema?

SOLUCIÓN:

La gráfica de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son dos líneas rectas que:

a) Se cortan en un solo punto, el cual representa la solución única del sistema.

b) Son paralelas coincidentes, es decir, una está sobre la otra, por lo tanto cada punto de una corresponde también a la otra, por lo tanto, tienen soluciones infinitas.

c) Son paralelas no coincidentes, es decir, nunca se cortan, por lo que no tienen algún punto en común; en este caso, el sistema no tiene solución.

El sistema de nuestro problema es del tipo mencionado en el inciso a). En todas las opciones de respuesta las rectas se cortan en un solo punto, la opción correcta es en la que dicho punto tiene por coordenada los valores determinados en la pregunta I de este problema.

En la pregunta I se obtuvieron los valores:

motocicletas = 35               y               automóviles = 85

En forma de coordenada escribimos: ( motocicletas, automóviles )

     ( 35, 85 )

Es común indicar una coordenada utilizando la notación ( x, y ), siempre en este orden, en donde “x” representa el valor sobre el eje horizontal y “y” representa el valor sobre el eje vertical, “x” y “y” son los ejes del sistema coordenado.

 

Entonces, analizando las gráficas, buscamos la coordenada ( 35, 85 ).

Esta coordenada se observa en la gráfica dei inciso B).

RESPUESTA CORRECTA: INCISO B).

PROBLEMA 8

La suma de dos números es igual a 64. Si la mitad del menor es igual a la sexta parte del mayor. ¿Cuáles son esos números?

I. ¿Cuál es la solución del problema?

A) 24 y 40                         b) 30 y 34                    c) 16 y 48                    d) 20 y 44

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN INTUITIVA

Probamos con cada inciso tomando los números indicados en cada uno y buscando que satisfagan las condiciones del problema.

Inciso A) 24 y 40

Inciso B) 30 y 34

Inciso C) 16 y 48

RESPUESTA CORRECTA: INCISO C).

SOLUCIÓN ALGEBRAICA

Establecemos el sistema de ecuaciones:

Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de eliminación:

Vamos a eliminar la variable “y”.

Con x = 16, calculamos “y” a partir de ( 1 ) o ( 2 ):

Por lo tanto, los números buscados son el 16 y el 48.

RESPUESTA CORRECTA: INCISO C).

II. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones puedo plantear para resolver este problema?

SOLUCIÓN:

En la pregunta I de este problema se desarrolla el planteamiento del sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas con el que se resuelve el mismo, una de estas ecuaciones es la del inciso D).

Considerando a “x” como el número menor y a “y” como el número mayor, esta ecuación representa algebraicamente una de las condiciones del problema:

RESPUESTA CORRECTA: INCISO D).

III. ¿Cuáles de los siguientes métodos no puedo utilizar para resolver este problema?

SOLUCIÓN:

Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se puede resolver por los siguientes métodos:

El método de completar el cuadrado perfecto se aplica para poder factorizar un trinomio de segundo grado.

RESPUESTA CORRECTA: INCISO C).

PROBLEMA 9

Felipe y Marco coleccionan monedas viejas. Felipe le dice a Marco: “Si me das dos monedas, tendré tantas como tú”, y Marco responde: “Sí, pero si tú me das cuatro, entonces tendré cuatro veces más que tú”. ¿Cuántas monedas tienen cada uno?

I. ¿Cuál es la solución al problema?

A) 10 y 14                        B) 6 y 10                        C) 16 y 20                   D) 8 y 12

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN INTUITIVA

Analizamos los valores de cada opción y aplicamos las condiciones del problema para poder seleccionar la opción correcta.

Del texto del ejercicio y los valores de cada inciso, se deduce que Felipe tiene menos monedas que Marco.

• INCISO A) 10 y 14

Felipe: 10 monedas

Marco: 14 monedas

Si Marco que tiene 14 monedas, le da dos monedas a Felipe que tiene 10 monedas, entonces cada uno tendrá 12 monedas, es decir, tendrán la misma cantidad. Se cumple la primera condición.

Para la segunda condición:

Si Felipe que tiene 10 monedas, le da cuatro monedas a Marco que tiene 14 monedas, entonces:

Felipe tendrá 10 – 4 =   6 monedas

Marco tendrá 14 + 4 = 18 monedas

Es claro que 18 no es cuatro veces 6, no se cumple la condición.

• INCISO B) 6 y 10

Felipe:   6 monedas

Marco: 10 monedas

Si Marco que tiene 10 monedas, le da dos monedas a Felipe que tiene 6 monedas, entonces:

Felipe tendrá   6 + 2 = 8 monedas

Marco tendrá 10 – 2 = 8 monedas

Tendrán la misma cantidad. Se cumple la primera condición.

Para la segunda condición:

Si Felipe que tiene 6 monedas, le da cuatro monedas a Marco que tiene 10 monedas, entonces:

Felipe tendrá   6 – 4 =   2 monedas

Marco tendrá 10 + 4 = 14 monedas

Es claro que 14 no es cuatro veces 2, no se cumple la condición.

• INCISO C) 16 y 20

Felipe: 16 monedas

Marco: 20 monedas

Si Marco que tiene 20 monedas, le da dos monedas a Felipe que tiene 16 monedas, entonces:

Felipe tendrá   16 + 2 = 18 monedas

Marco tendrá 20 – 2 = 18 monedas

Tendrán la misma cantidad. Se cumple la primera condición.

Para la segunda condición:

Si Felipe que tiene 16 monedas, le da cuatro monedas a Marco que tiene 20 monedas, entonces:

Felipe tendrá  16 – 4 =  12 monedas

Marco tendrá  20 + 4 =  24 monedas

Es claro que 24 no es cuatro veces 12, no se cumple la condición.

• INCISO D) 8 y 12

Felipe:   8 monedas

Marco: 12 monedas

Si Marco que tiene 12 monedas, le da dos monedas a Felipe que tiene 8 monedas, entonces:

Felipe tendrá   8 + 2 = 10 monedas

Marco tendrá 12 – 2 = 10 monedas

Tendrán la misma cantidad. Se cumple la primera condición.

Para la segunda condición:

Si Felipe que tiene 8 monedas, le da cuatro monedas a Marco que tiene 12 monedas, entonces:

Felipe tendrá    8 – 4 =    4 monedas

Marco tendrá  12 + 4 =  16 monedas

16 es cuatro veces 4, se cumple la condición.

RESPUESTA CORRECTA: INCISO D).

SOLUCIÓN ALGEBRAICA

Felipe: “x” monedas

Marco: “y” monedas

Felipe le dice a Marco: “Si me das dos monedas, tendré tantas como tú”.

Algebraicamente:        x + 2 = y – 2 

Marco responde: “Sí, pero si tú me das cuatro, entonces tendré cuatro veces más que tú”.

Algebraicamente:        4 ( x – 4 ) = y + 4

Reexpresamos las ecuaciones y establecemos el sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

Resolvemos el sistema por el método de eliminación.

Eliminamos la variable “y”:

RESPUESTA CORRECTA: INCISO D).

II. Si utilizo “m” para representar las monedas de Felipe y “n” para las de Marco, ¿cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones es correcto?

SOLUCIÓN:

En la pregunta I de este problema, en la SOLUCIÓN ALGEBRAICA, está descrita la forma de elaborar el sistema de ecuaciones que representa este problema y permite resolverlo.

El sistema planteado es:

Este sistema es equivalente al del inciso A).

RESPUESTA CORRECTA: INCISO A).

PROBLEMA 10

Julia, Alberto, y Susana compraron una cierta cantidad de chocolates. Julia se comió la mitad y uno más. Alberto se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Susana se comió la mitad de los que quedaban y uno más. No quedó ningún chocolate. ¿Cuántos chocolates habían comprado?

I. ¿Cuál es la respuesta correcta al problema?

a) 20 chocolates       b) 14 chocolates       c) 16 chocolates       d) 18 chocolates

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN INTUITIVA

Probamos con cada valor de las opciones de respuesta y le aplicamos las condiciones del problema.

Julia + Alberto + Susana = Total de chocolates

"Julia se comió la mitad y uno más":

20 – 10 = 10              10 + 1 = 11              Quedan: 20 – 11 = 9

"Alberto se comió la mitad de los quedaban y uno más":

Observamos que la mitad de 9 no es un número entero.

OPCIÓN INCORRECTA.

INCISO B) 14 chocolates

"Julia se comió la mitad y uno más":

14 – 7 = 7                       7 + 1 = 8               Quedan: 14 – 8 = 6

"Alberto se comió la mitad de los quedaban y uno más":

6 – 3 = 3                  3 + 1 = 4                    Quedan: 6 – 4 = 2

“Susana se comió la mitad de los quedaban y uno más”:

2 – 1 = 1                  1 + 1 = 2                    Quedan: 2 – 2 = 0

RESPUESTA CORRECTA: INCISO B).

SOLUCIÓN ALGEBRAICA

Julia + Alberto + Susana = Total de chocolates

Si designamos al total de chocolates con la variable “x”

J + A + S = x……………….( 1 )

Retomamos la ecuación ( 1 ), sustituimos en ella las expresiones que representan las cantidades consumidas por Julia, Alberto y Susana, para calcular “x”.

J + A + S = x

RESPUESTA CORRECTA: INCISO B).

II. Si “x” es el total de  chocolates, ¿qué ecuación representa el número de chocolates que se comió Susana?

SOLUCIÓN:

Transformamos las condiciones del problema dadas en lenguaje común, a lenguaje algebraico.

RESPUESTA CORRECTA: INCISO D).